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martes, 11 de enero de 2011

Calculo de un area de un poligono irregular



He encontrado esta interesante pagina que explica como calcular el área de un polígono irregular:

http://html.rincondelvago.com/area-de-una-region-poligonal-en-plano-cartesiano.html

Aqui teneis la direccion de descarga de un programa realizado en Gambas que hace el cálculo:






Programa para gnu/linux: Gnu/Linux Gambas3.2
                                             CalculoAreaPoligonoIrregular_Linux_Ejecutable
                                             CalculoAreaPoligonoIrregular_Windows.exe

Área de una región poligonal en el plano cartesiano
Sea A1 , A2 , A3 , ........, An un polígono de “n” lados cuyos vértices nombrados en sentido
antihorario, tiene como coordenadas : Área de una región poligonal en plano cartesiano
,Área de una región poligonal en plano cartesiano
,Área de una región poligonal en plano cartesiano
,........,Área de una región poligonal en plano cartesiano
Entonces el área de la región poligonal Área de una región poligonal en plano cartesiano
correspondiente, es el valor absoluto de la expresión :

Área de una región poligonal en plano cartesiano
.....(1)

Llamada también formula determinante de Gauss
Obsérvese en la determinante se repite , al final, el primer par ordenado Área de una región poligonal en plano cartesiano
correspondiente
a la coordenada de Área de una región poligonal en plano cartesiano
.
La forma de resolver esta determinante es la siguiente:
Área de una región poligonal en plano cartesiano
I D

De donde : Área de una región poligonal en plano cartesiano

Área de una región poligonal en plano cartesiano
Luego el valor de la determinante estará dada por :

Área de una región poligonal en plano cartesiano
....(2)
Por lo tanto sustituyendo (2) en (1) :
Área de una región poligonal en plano cartesiano
....(3)
Notas :
a) La elección del primer vértice en el polígono es completamente arbitrario.
b) La expresión (3) es aplicable inclusive a figuras no convexas (cóncavas)
Ejercicio de aplicación :
Hallar el área de la región pentagonal cuyos vértices son: Área de una región poligonal en plano cartesiano
, Área de una región poligonal en plano cartesiano
, Área de una región poligonal en plano cartesiano
Área de una región poligonal en plano cartesiano
y Área de una región poligonal en plano cartesiano
Solución:
Hacemos un gráfico aproximado :

Elijamos como primer vértice al par ordenado Área de una región poligonal en plano cartesiano
luego:
Área de una región poligonal en plano cartesiano

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:

Área de una región poligonal en plano cartesiano
Área de una región poligonal en plano cartesiano
Área de una región poligonal en plano cartesiano
Área de una región poligonal en plano cartesiano

Reemplazando estos valores en (1) :
Área de una región poligonal en plano cartesiano

Resolvamos la determinante de acuerdo a la teoría :
I D
Luego los valores de D y de I respectivamente serán:
Área de una región poligonal en plano cartesiano

Área de una región poligonal en plano cartesiano


Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :
Área de una región poligonal en plano cartesiano
Por lo tanto :
Área de una región poligonal en plano cartesiano



Calculo del área de un triángulo dado por sus coordenadas. Área de una región poligonal en plano cartesiano
, Área de una región poligonal en plano cartesiano
, Área de una región poligonal en plano cartesiano
Haciendo un gráfico:
Elijamos como primer vértice al par ordenado Área de una región poligonal en plano cartesiano
luego:
Área de una región poligonal en plano cartesiano
Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:

Área de una región poligonal en plano cartesiano
Área de una región poligonal en plano cartesiano

Reemplazando estos valores en (1):
Área de una región poligonal en plano cartesiano

Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto anteriormente :

I D

Luego los valores de D y de I respectivamente serán:



Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :
Área de una región poligonal en plano cartesiano
Por lo tanto :
Área de una región poligonal en plano cartesiano

Ejemplo:
Calcular el área de una región hexagonal no convexa (cóncava) cuyos vértices son:
Área de una región poligonal en plano cartesiano
,Área de una región poligonal en plano cartesiano
,Área de una región poligonal en plano cartesiano
,Área de una región poligonal en plano cartesiano
,Área de una región poligonal en plano cartesiano
,Área de una región poligonal en plano cartesiano
.
Al igual que en los demás casos dibujemos un gráfico aproximado del hexágono no convexo
Elijamos como primer par ordenado Área de una región poligonal en plano cartesiano
luego:
Área de una región poligonal en plano cartesiano
Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:

Área de una región poligonal en plano cartesiano
Área de una región poligonal en plano cartesiano
Área de una región poligonal en plano cartesiano
Área de una región poligonal en plano cartesiano
Área de una región poligonal en plano cartesiano
Reemplazando estos valores en (1) :
Área de una región poligonal en plano cartesiano


Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto en la teoría:
I D
Luego los valores de D y de I respectivamente serán:
Área de una región poligonal en plano cartesiano

Área de una región poligonal en plano cartesiano


Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :
Área de una región poligonal en plano cartesiano
Por lo tanto :
Área de una región poligonal en plano cartesiano

Como puede darse cuenta  este método para calcular el área de una región poligonal cualquiera en el plano cartesiano es sumamente práctico y sencillo.



Área de una región poligonal en plano cartesiano
Área de una región poligonal en plano cartesiano
Área de una región poligonal en plano cartesiano
Área de una región poligonal en plano cartesiano
Área de una región poligonal en plano cartesiano
Área de una región poligonal en plano cartesiano
Área de una región poligonal en plano cartesiano
Área de una región poligonal en plano cartesiano
Área de una región poligonal en plano cartesiano








Saludos
Os dejo aqui un video tutorial que hace todo el proceso muy claramente:




Nota: 28/10/2011
Podéis ver dos programas que realizan el cálculo del área de un polígono irregular:


Programa para S.O. Windows y versión para Gnu/linux realizado en Lazarus (freePascal)


Programa para gnu/linux realizado en Gambas2


Para más información:
Area-AFX.doc
Calculo de Areas.pdf
Topografia calculo de areas.pdf