Gambas Mis Programas y el Softwarelibre: Calculo de un area de un poligono irregular

miércoles, 12 de enero de 2011

Calculo de un area de un poligono irregular

He encontrado esta interesante pagina que explica como calcular el área de un polígono irregular:

http://html.rincondelvago.com/area-de-una-region-poligonal-en-plano-cartesiano.html

Aqui teneis la direccion de descarga de un programa realizado en Gambas que hace el cálculo:

Programa para gnu/linux: Gnu/Linux Gambas3.2
CalculoAreaPoligonoIrregular_Linux_Ejecutable
CalculoAreaPoligonoIrregular_Windows.exe

Área de una región poligonal en el plano cartesiano
Sea A1 , A2 , A3 , ........, An un polígono de “n” lados cuyos vértices nombrados en sentido
antihorario, tiene como coordenadas :

,........,

Entonces el área de la región poligonal

correspondiente, es el valor absoluto de la expresión :

Área de una región poligonal en plano cartesiano

.....(1)

Llamada también formula determinante de Gauss
Obsérvese en la determinante se repite , al final, el primer par ordenado

correspondiente
a la coordenada de

.
La forma de resolver esta determinante es la siguiente:
Área de una región poligonal en plano cartesiano

I D

De donde :

Luego el valor de la determinante estará dada por :

Área de una región poligonal en plano cartesiano

....(2)
Por lo tanto sustituyendo (2) en (1) :

....(3)
Notas :
a) La elección del primer vértice en el polígono es completamente arbitrario.
b) La expresión (3) es aplicable inclusive a figuras no convexas (cóncavas)
Ejercicio de aplicación :
Hallar el área de la región pentagonal cuyos vértices son:

Solución:
Hacemos un gráfico aproximado :

Elijamos como primer vértice al par ordenado

luego:

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:

Reemplazando estos valores en (1) :
Área de una región poligonal en plano cartesiano

Resolvamos la determinante de acuerdo a la teoría :
I D
Luego los valores de D y de I respectivamente serán:

Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :

Por lo tanto :

Calculo del área de un triángulo dado por sus coordenadas.

Haciendo un gráfico:
Elijamos como primer vértice al par ordenado

luego:

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:

Reemplazando estos valores en (1):
Área de una región poligonal en plano cartesiano

Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto anteriormente :

I D

Luego los valores de D y de I respectivamente serán:

Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :

Por lo tanto :

Ejemplo:
Calcular el área de una región hexagonal no convexa (cóncava) cuyos vértices son:

.
Al igual que en los demás casos dibujemos un gráfico aproximado del hexágono no convexo
Elijamos como primer par ordenado

luego:

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:

Reemplazando estos valores en (1) :
Área de una región poligonal en plano cartesiano

Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto en la teoría:
I D
Luego los valores de D y de I respectivamente serán:

Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :

Por lo tanto :

Como puede darse cuenta este método para calcular el área de una región poligonal cualquiera en el plano cartesiano es sumamente práctico y sencillo.

Área de una región poligonal en plano cartesiano