Dada dos soluciones de una ecuacion de segundo grado obtener los valores A,B y C

Dada dos soluciones de una ecuación de segundo grado obtener los valores A,B y C

Esta mañana me han planeado un pequeño problema matemático:

Dada las dos soluciones (o también llamadas raices) de una ecuación de segundo grado ( Ax² +Bx +C =0 ), definir la ecuación, osea los parámetros A, B y C.

Acordaos que una ecuación de segundo grado es asi:

En concreto las soluciones que nos dan son  x=2 y x=-7,
 ¿cuales son los valores A, B y C de la ecuacion A*x²+b*x+C=0?

Bien vamos por pasos:
1) voy a ver como queda la ecuación sustituyendo valores de x:
para X=2 tenemos

•                                                     A*4+B*2+C=0 (ecuacion 1)

Y para X=-7 tenemos:

•                                                A*(-7*-7)+B * (-7) +C=0 (ecuacion 2)

Como vemos, tenemos 2 ecuaciones ecuaciones, y 3 incognitas:
A,B y C

Por lo tanto, este sistema de ecuaciones tiene infinitas soluciones, al tener más incognitas que ecuaciones.

2) Vamos a coger (por ejemplo), como parametro la "C" y dandole valor, y asi resolver el sistema resultante, osea tendremos los valores A y B.

2.1) Para C=1:

• A * 4+B * 2+1=0 -> B=(-1-A*4)/2

• A * 49- B * 7 +1=0 -> B=(-1-49*A)/(-7)

Resolviendo estas ecuaciones, por ejemplo gráficamente, tendremos el punto de cruce de las dos rectas que es la solución:

zoom del cruce de las rectas

La solución seria A=-0.7142857 y B=-0.3571428, con C=1

2.2) Si damos otros valores a C, por ejemplo C=20, C=3, C=77, obtendremos diversas soluciones de A y B, y por lo tanto, diversas ecuaciones de 2º grado (diversas parábolas) que pasan por la raiz (x=2 y x=-7).

A continuación podeis ver las distintas gráficas de las parábolas:

Diversas ecuaciones de 2º grado que son solución

zoom en los puntos de la solucion x=2 y x=-7

Como resumen del ejercicio, podemos decir que existen infinitas soluciones de ecuaciones de 2º grado que tengan como solucion x=2 y x=-7.

Nota:

Otro gallo nos cantaría, si nos dieran otro punto por donde debe pasar la parábola, ya que entonces tendríamos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas, y por lo tanto lo resolveriamos teniendo valores únicos de A, B y C.

Saludos