Gambas Mis Programas y el Softwarelibre: Calculo de un area de un poligono irregular

He encontrado esta interesante pagina que explica como calcular el área de un polígono irregular:

http://html.rincondelvago.com/area-de-una-region-poligonal-en-plano-cartesiano.html

Aqui teneis la direccion de descarga de un programa realizado en Gambas que hace el cálculo:

Programa para gnu/linux: Gnu/Linux Gambas3.2
CalculoAreaPoligonoIrregular_Linux_Ejecutable
CalculoAreaPoligonoIrregular_Windows.exe

Área de una región poligonal en el plano cartesiano
Sea A1 , A2 , A3 , ........, An un polígono de “n” lados cuyos vértices nombrados en sentido
antihorario, tiene como coordenadas :

,........,

Entonces el área de la región poligonal

correspondiente, es el valor absoluto de la expresión :

Área de una región poligonal en plano cartesiano

.....(1)

Llamada también formula determinante de Gauss
Obsérvese en la determinante se repite , al final, el primer par ordenado

correspondiente
a la coordenada de

.
La forma de resolver esta determinante es la siguiente:
Área de una región poligonal en plano cartesiano

I D

De donde :

Luego el valor de la determinante estará dada por :

Área de una región poligonal en plano cartesiano

....(2)
Por lo tanto sustituyendo (2) en (1) :

....(3)
Notas :
a) La elección del primer vértice en el polígono es completamente arbitrario.
b) La expresión (3) es aplicable inclusive a figuras no convexas (cóncavas)
Ejercicio de aplicación :
Hallar el área de la región pentagonal cuyos vértices son:

Solución:
Hacemos un gráfico aproximado :

Elijamos como primer vértice al par ordenado

luego:

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:

Reemplazando estos valores en (1) :
Área de una región poligonal en plano cartesiano

Resolvamos la determinante de acuerdo a la teoría :
I D
Luego los valores de D y de I respectivamente serán:

Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :

Por lo tanto :

Calculo del área de un triángulo dado por sus coordenadas.

Haciendo un gráfico:
Elijamos como primer vértice al par ordenado

luego:

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:

Reemplazando estos valores en (1):
Área de una región poligonal en plano cartesiano

Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto anteriormente :

I D

Luego los valores de D y de I respectivamente serán:

Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :

Por lo tanto :

Ejemplo:
Calcular el área de una región hexagonal no convexa (cóncava) cuyos vértices son:

.
Al igual que en los demás casos dibujemos un gráfico aproximado del hexágono no convexo
Elijamos como primer par ordenado

luego:

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos ,teniendo en cuenta el sentido antihorario serán:

Reemplazando estos valores en (1) :
Área de una región poligonal en plano cartesiano

Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto en la teoría:
I D
Luego los valores de D y de I respectivamente serán:

Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :

Por lo tanto :

Como puede darse cuenta este método para calcular el área de una región poligonal cualquiera en el plano cartesiano es sumamente práctico y sencillo.

Área de una región poligonal en plano cartesiano